jueves, 18 de noviembre de 2010

Lorena Lógica, y cómo defenderla

Respetuosamente, para Antonio Ortiz, a quien no tengo el
honor de conocer personalmente. También para mis amigos
Francisco Delahay y (S)Ergio de Régules, víctimas involuntarias
de esta gracejada.


Hace alrededor de 10 años, cuando vivía y ejercía mi profesión en Tecomán, Colima, y no tenía asegurado el sumistro puntual de mi revista consentida, Antonio Ortiz, colaborador recurrente, publicó en la sección "Retos" de ¿Cómo ves? un simpático acertijo. No supe resolverlo inmediatamente, y la respuesta definitiva, que apareció en el siguiente ejemplar, me sorprendió muchísimo. Meses después envié a los editores de la revista mi reelaboración de la respuesta. Ellos decidieron no publicarla, con excelentes motivos, y tal vez por afecto a mi persona omitieron mencionar el principal: es posible que el texto sea aburrido. Desde entonces, estas líneas yacen olvidadas en las simas de un disco duro.

Sucede, sin embargo, que a mí me traen buenos recuerdos. Además, estoy convencido de que en el lenguaje común y en el uso cotidiano, se comenten continuamente abusos contra la lógica. Para la gente de la calle, "lógica" es sinónimo de "sentido común", o "conocimiento intuitivo".

Y lo interesante es que el conocimiento científico puede ser bastante contraintuitivo, incluso en sus ramas más "terrenas", cercanas a la experiencia diaria. Veamos un ejemplo: de entrada, nos imaginamos que el estado natural de los cuerpos es el reposo. Por eso me gusta tanto el único experimento que vemos realizar a Hipatia en Ágora: pedir a su sirviente que deje caer un saco de arena desde la punta del mástil de su embarcación en movimiento, cuando ella se ha colocado en una posición tal que esperaríamos que el saco de arena, al caer, le rompa el cuello. Aunque el bajel se desplaza a todo trapo, el saco de arena cae justo al pie del mástil, dejando indemne a la delicada Hipatia. 

Si, querido lector, crees que este dato no es contraintuitivo, te invito a que intentes explicárselo a un chamaco de segundo de secundaria... 

No soy un experto, y no dudo que alguno de ustedes pueda llegar a las mismas conclusiones, en menos pasos. Me he basado en Patrick Suppes y Shirley Hill. Espero que este vínculo aparezca correctamente...

En defensa de la lógica (de Lorena Lógica, si se quiere) y en recuerdo de aquellos buenos tiempos, rescato testarudamente estas líneas. Espero que algún placer encuentres en ellas, lector.

Un compromiso inesperado

Me sentí sumamente contento por Lorena cuando, a través de ¿Cómo ves? (año 2, número 24) tuve noticias de su inminente boda. ¡De modo que ella había prometido matrimonio a aquél de sus cuatro admiradores que le hubiera llevado serenata! El problema, desde luego, era que no sabíamos a cuál de ellos (Anselmo, Benito, Carlos o David) otorgaría su mano: la muy guapa pero muy miope Lorena no había podido ver al autor de la galantería. Sólo contábamos con las escasas pistas que su portero le había dado, de manera que esperábamos con ansia la aparición del siguiente ejemplar de nuestra revista consentida para conocer el nombre del afortunado.

"Si Anselmo le trajo los mariachis, entonces también lo hizo Benito. Si Benito los trajo, entonces Carlos también lo hizo o Anselmo no lo hizo" le había dicho el portero. Y añadió: "Si David no los trajo, entonces Anselmo sí y Carlos no. Pero si David los trajo, entonces también lo hizo Anselmo."

Por alguna razón, me inclinaba a pensar que Carlos iba a ser el marido de Lorena: Tan simpático, tan culto... Descarté de inmediato a David por ser muy proclive a verse envuelto en líos. El propio portero parecía compartir mi opinión: Si David trajo los mariachis, también lo hizo Anselmo, aseguraba la última de sus afirmaciones. Y en la primera daba por hecho que si Anselmo había participado en el sarao, también debía estar en él Benito. Y si Benito los trajo, entonces... No. Descarté a David de inmediato.

¿Lorena, polígama?

El problema comenzó poco después, con un telefonema de la siempre bella pero en esa ocasión muy llorosa Lorena: ¿Cómo ves? había divulgado una información, firmada por su reportero de nota rosa, un tal Antonio Ortiz, en la que se aseguraba que contraería matrimonio con los cuatro pretendientes. Y pues no. Lorena podrá ser coqueta, pero nunca polígama. Lorena me solicitaba mi ayuda para desfacer, en caso de que fuera posible, el entuerto. Aterrado, pues la polémica me paraliza, accedí, obligado por mi larga amistad con ella.

El primer obstáculo serio que enfrentamos fue que el portero se mantenía en su dicho en todos y cada uno de los detalles del caso. No deseaba modificar un ápice su declaración, ni añadir otras informaciones. ¿Cómo desmentir al maledicente señor Ortiz? El segundo obstáculo que surgió, no menos importante, fue que los cuatro prentendientes se manifestaron puestísimos para casarse con Lorena, como si fueran a compartir el trono, las posesiones y a la mujer de Odiseo. No me sentía capaz de afrontar la tarea en soledad, y decidí recurrir a la ayuda de mis mejores amigos: Francisco y Ergio (éste último, un muchacho con una gran capacidad de trabajo...). Así, como primer paso decisivo para salvar tamaños obstáculos, optamos por crear el grupo EFG vs ABCD, por las siglas de todos los implicados.

El grupo EFG vs ABCD en acción

Ergio, mucho más ordenado que cualquiera de nosotros, propuso de inmediato reducir el problema a símbolos, más manejables y carentes de las fuertes connotaciones emocionales asociadas al ver a nuestra querida Lorena al borde de la poligamia. Generó así cuatro elegantes líneas, luego de simbolizar cada una de las proposiciones, o premisas, que nos había dado el portero:

A = Anselmo trajo a los mariachis.
B = Benito trajo a los mariachis.
C = Carlos trajo a los mariachis.
D = David trajo a los mariachis.

Así, las premisas del portero quedarían de esta manera:

Las premisas del portero

1.
AÞB
P
2.
BÞCÚ¬A
P
3.
¬DÞA&¬C
P
4.
DÞA
P

-Imaginemos lo que sucede si simplemente escuchamos al portero y llevamos cada una de sus aseveraciones a la más simple y más inmediata de sus consecuencias- dijo Ergio. -En su cuarta premisa (de ahí la "P" al final de cada línea) el portero afirma que, si David a los mariachis, entonces  también lo hizo Anselmo.

-Una mera suposición- interumpí. Y posiblemente sin fundamento alguno.

-No es una suposición cualquiera, por cierto- me explicó pacientemente Ergio, -sino una proposición condicional. Que, por cierto, parece "encadenarse" de manera natural con una segunda proposición condicional.

-Sí, mira- intervino Francisco al advertir mi molestia. -En la primera proposición el portero afirma que, de haberlos traído Anselmo, también lo haría así Benito. Bien podríamos abreviar las dos premisas, la cuarta y la primera, diciendo que, si David trajo a los mariachis, entonces también lo hizo Benito.


La continuación de la deducción
1.
AÞB
P
2.
BÞCÚ¬A
P
3.
¬DÞA&¬C
P
4.
DÞA
P
5.
DÞB
HS 1, 4

Rubia y de ojos verdes...

-¡Por eso no pudo ser David!- exploté. Por la mirada que recibí de mis amigos me sentí como un hooligan en un torneo de ajedrez.

-Aún hay otra proposición condicional que se "encadena" con las anteriores- siguió Ergio, que es inmune a los malos modales -pero es un poco más compleja, pues su segunda parte, el "consecuente", es a su vez una "disyunción".

-¿Y en qué podría ayudarnos esa dichosa "dis-yun-ción"?- No sé cómo toleraban mi descortesía.

-Excelente pregunta- intervino Francisco, haciéndome pensar que había hecho un hallazgo notable, que tal vez por ahí lograríamos deshacer lo que me parecía una conjura de los famosos ABCD. -Esa disyunción nos indica tres posibilidades, en caso de que Benito le hubiera traído serenata a Lorena: Carlos trajo la serenata, Anselmo no trajo la serenata, o a la vez Carlos la trajo y Anselmo no.

La continuación de la deducción
1.
AÞB
P
2.
BÞCÚ¬A
P
3.
¬DÞA&¬C
P
4.
DÞA
P
5.
DÞB
HS 1, 4
6.
DÞCÚ¬A
HS 2, 5


-¿"A la vez"? ¡Cómo que "a la vez"! Uno hace una cosa, o no la hace, y punto, ¿o no?

-No todas las disyunciones son exclusivas. Ésta en particular es una disyunción inclusiva. Es cierta si el primer miembro de ella es cierto, pero también si el segundo miembro lo es, pero sobre todo, también es cierta si ambos miembros lo son.

Francisco no me convencía nada, y lo dejé bien claro: -¿Acaso podrías presentarme a una mujer que tuviera simultáneamente ambos ojos azules y verdes?

-Desde luego que no- terció Ergio, con una paciencia de franciscano (la de Francisco era una paciencia ergiana). Pero podríamos hacerte la oferta de presentarte a una mujer que o fuera rubia o tuviera los ojos verdes, y no creo que te sintieras defraudado si la mujer en cuestión fuera una rubia de ojos verdes.

Supongo que es innecesario añadir que acepté la oferta de inmediato.

Saliendo de un callejón cerrado

El último ejemplo de Ergio había logrado apaciguarme, al menos por un momento. Comencé a mirar con interés las deducciones que él y Francisco iban escribiendo cuidadosamente a lápiz. Habíamos avanzado hasta las líneas 5 y 6 aplicando la regla del silogismo hipotético, abreviada HS, que para mí había sido perfectamente desconocida hasta ese momento, como toda la jerigonza de Ergio y Francisco. Intenté localizar otras proposiciones condicionales que se encadenaran entre sí, como hasta entonces lo habíamos hecho, sin encontrar ninguna.

-¿Y ahora...?- pregunté, ya sin ánimo de molestar a mis amigos.

-Ahora es momento... ¡de hacer suposiciones!- exclamó triunfal Francisco. -Partamos justamente de la hipótesis que te parece más odiosa, Gerardo: supongamos que, efectivamente, David le llevó serenata a Lorena.

-Oye, pero el portero nunca nos dijo eso. Sólo nos dijo que si David la hubiera traído...

-De acuerdo- Ergio me interrumpió por primera vez en la velada. -Sólo suponlo, sin concederlo.

La continuación de la deducción
1.
AÞB
P
2.
BÞCÚ¬A
P
3.
¬DÞA&¬C
P
4.
DÞA
P
5.
DÞB
HS 1, 4
6.
DÞ CÚ¬A
HS 2, 5
7.
                         D
P


-Bueno. Si David trajo a los mariachis, lo que sólo es una suposición (que anotamos cuidadosamente en la línea 7), entonces puedo deducir que también los trajo Benito, como ya habíamos establecido en la línea 5. También puedo asegurar que, en ese supuesto, o los trajo Carlos, o no los trajo Anselmo, o ambas cosas a la vez, según lo que aseguramos en la línea 6. Y hasta puedo decir que, nuevamente en el supuesto de que David trajera la serenata, entonces también lo hizo Anselmo, como nos lo dijo el portero en la línea 4. Voy a simbolizar estos tres enunciados en las líneas 8, 9, y 10. Y como todas estas deducciones son dependientes de la suposición de que David trajera la serenata, voy a escribirlas con sangría, debajo de la D de la línea 7.

-¡Caramba!- exclamó Ergio, mirándome con sorpresa. -Yo mismo no lo hubiera dicho mejor...

La continuación de la deducción
1.
AÞB
P
2.
BÞCÚ¬A
P
3.
¬DÞA&¬C
P
4.
DÞA
P
5.
DÞB
HS 1, 4
6.
DÞ CÚ¬A
HS 2, 5
7.
                         D
P
8.
                         B
PP 5, 7
9.
                         CÚ¬A
PP 6, 7
10.
                         A
PP 4, 7


Un curioso atributo de las disyunciones

Aunque, ¡Claro!-  volvió a intervenir Francisco, -ahora tenemos el problema de que, por un lado, la línea 9 asegura que o Carlos trajo a los mariachis, o Anselmo no lo hizo, y por otro, en la línea 10 ya aseguramos que Anselmo lo hizo (todo ello en el supuesto de que David los hubiera traído). ¿No hay en ello una contradicción?

-De ninguna manera. Al contrario, eso nos permite asegurar que Carlos los trajo- intervino Ergio. -Mira, la frase: "o Carlos trajo a los mariachis, o Anselmo no lo hizo" es válida con tal de que se cumpla una sola de sus partes, aunque también lo es si se cumplen las dos, como ya habíamos quedado. El asegurar que la segunda parte es falsa (pues Anselmo debió haber traído a los mariachis) nos permite decir, sin lugar a dudas, que la primera parte de la disyunción debe ser cierta. Ese es un atributo curioso de las disyunciones: si puedes negar indudablemente uno de sus términos, el otro debe inevitablemente ser verdad (siempre y cuando la disyunción, como un todo, no sea una mentira).

La continuación de la deducción
1.
AÞB
P
2.
BÞCÚ¬A
P
3.
¬DÞA&¬C
P
4.
DÞA
P
5.
DÞB
HS 1, 4
6.
DÞ CÚ¬A
HS 2, 5
7.
                         D
P
8.
                         B
PP 5, 7
9.
                         CÚ¬A
PP 6, 7
10.
                         A
PP 4, 7
11.
                         C
TP 9, 10


Entonces tenemos que, según nuestra línea 10, Anselmo trajo a los mariachis; y según nuestra línea 8, también lo hizo Benito; y según la línea 11, también lo hizo Carlos, como voy a anotar en las líneas 12 y 13. Todo ello sólo es cierto en el supuesto de que David los hubiera traído, como voy a a anotar en la línea 14.

Ergio no podía ocultar su sorpresa: -¡Caramba, Gerardo! ¡Yo mismo no lo hubiera dicho mejor!- volvió a decir.

La continuación de la deducción
1.
AÞB
P
2.
BÞCÚ¬A
P
3.
¬DÞA&¬C
P
4.
DÞA
P
5.
DÞB
HS 1, 4
6.
DÞ CÚ¬A
HS 2, 5
7.
                         D
P
8.
                         B
PP 5, 7
9.
                         CÚ¬A
PP 6, 7
10.
                         A
PP 4, 7
11.
                         C
TP 9, 10
12.
                         A&B
A 8, 10
13.
                         (A&B)&C
A 11, 12
14.
DÞ (A&B)&C
CP 7, 13


-¿Debemos pensar entonces que Antonio Ortiz dijo la verdad, y que de las premisas que nos entregó el portero sólo es posible concluir que los cuatro trajeron la serenata?- Debo reconocer que no esperaba yo escuchar a Francisco haciendo gala de tanto sentido práctico.

-¿O podríamos más bien decir que no pudo traerlos David, pues eso implicaría que tuvieron que ser los cuatro?- no me resignaba a perder tan fácilmente.

-Ninguna de sus afirmaciones es correcta, caballeros.- Ergio habló con una solemnidad apabullante. -No hemos dicho que David los hubiera traído, sólo lo que pasaría si él los trajera, y nada se opone desde el punto de vista lógico a que, efectivamente, los cuatro hubieran traído serenata, puestos en ello de acuerdo o no.

-Entonces sólo nos queda intentar probar que David no pudo ser el que trajo la serenata, aunque no tengo la menor idea de cómo lograrlo- mi voz era apenas un murmullo.

Suponiendo lo que deseamos comprobar...

-Partamos de las premisas del portero- Ergio hacía gala de su capacidad de hacer un trabajo... dicen que nombre es destino. -Pero esta vez, supongamos, mejor, que David no trajo la serenata, como voy a anotar, nuevamente, en la línea 5. De inmediato podemos deducir, de acuerdo a la línea 3, que si David no trajo a los mariachis, entonces Anselmo lo hizo, y a la vez Carlos no. Puedo entonces decir, sencillamente, que Anselmo los trajo, simplificando la línea 6. O puedo, también simplificando la línea 6, decir que Carlos no los trajo.

Pero si suponemos que David no fue...
1.
AÞB
P
2.
BÞCÚ¬A
P
3.
¬DÞA&¬C
P
4.
DÞA
P
5.
                         ¬D
P
6.
                         A&¬C
PP 3,5
7.
                         A
S 6
8.
                         ¬C
S 6
 
-Ahora bien- intervino Francisco, -si suponemos que Anselmo los trajo, como quedó asentado en la línea 7, podemos deducir, a partir de la línea 1, que Benito también. Y si Benito los trajo, de acuerdo a lo que el portero nos ha dicho en la segunda premisa, entonces o Carlos los trajo o Anselmo no. Pero ya habíamos dicho, en la línea 8, que Carlos no dio la serenata.
Pero si suponemos que David no fue...
1.
AÞB
P
2.
BÞCÚ¬A
P
3.
¬DÞA&¬C
P
4.
DÞA
P
5.
                         ¬D
P
6.
                         A&¬C
PP 3,5
7.
                         A
S 6
8.
                         ¬C
S 6
9.
                         B
PP 1, 7
10.
                         CÚ¬A
PP 2, 9
-Si el primer miembro de la disyunción de la línea 10 es falso- remató Ergio, -entonces el segundo debe, por fuerza, ser verdadero. Si David no los trajo, Anselmo tampoco.
Pero si suponemos que David no fue...
1.
AÞB
P
2.
BÞCÚ¬A
P
3.
¬DÞA&¬C
P
4.
DÞA
P
5.
                         ¬D
P
6.
                         A&¬C
PP 3,5
7.
                         A
S 6
8.
                         ¬C
S 6
9.
                         B
PP 1, 7
10.
                         CÚ¬A
PP 2, 9
11.
                         ¬A
TP 8, 10
-Pero ya habíamos establecido, en la línea 7, que Anselmo sí participó en la serenata. Y afirmar, como lo hacemos en la línea 12, que simultáneamente Anselmo trajo a los mariachis y no los trajo es, a todas luces, una contradicción, y por lo tanto, un absurdo.
Ergio sonreía sin alegría, a la vez que escribía nuestra triste conclusión. Por reducción al absurdo debemos afirmar, ahora sí, que David trajo la serenata. Y ya sabemos que, si David la trajo, entonces la trajeron los cuatro.
Imitando a Ergio, le dije, muy serio: -Caramba. Yo mismo no lo hubiera dicho mejor...- Y por fin nos reímos los tres.
Pero si suponemos que David no fue...
1.
AÞB
P
2.
BÞCÚ¬A
P
3.
¬DÞA&¬C
P
4.
DÞA
P
5.
                         ¬D
P
6.
                         A&¬C
PP 3,5
7.
                         A
S 6
8.
                         ¬C
S 6
9.
                         B
PP 1, 7
10.
                         CÚ¬A
PP 2, 9
11.
                         ¬A
TP 8, 10
12.
                         A&¬A
A 7, 11
13.
D
RAA 5, 12
Las ventajas del divorcio
Nuestro fracaso era contundente. Antonio Ortiz y ¿Cómo ves? habían estado todo el tiempo en lo cierto. Lorena, al prometer matrimonio sin haber escuchado atentamente las premisas del portero, había obrado tan a la ligera como cierto visir de la India que garantizó a un sabio, agradecido por el hermoso juego que le había enseñado, un grano de trigo por el primer escaque del juego, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto, y así sucesivamente, en progresión geométrica... Esperábamos del malhadado grupo ABCD una serenidad por lo menos semejante a la del sabio del cuento, que, evidentemente, no reclamó una apuesta imposible de cobrar.

Porque la única solución que pudimos proponerle a Lorena fue que no se casara con ellos simultáneamente, sino sucesivamente...

Resumen de los conectivos lógicos utilizados
Símbolo
Nombre
Traducción al castellano
&
Conjunción
“... y...“
Ú
Disyunción
“... o...”
Þ
Implicación condicional
“Si... entonces...”
¬
Negación
“No es verdad que...”






No hay comentarios:

Publicar un comentario